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Casi dimostrativi con calcoli per la selezione dei filtri

Caso №1
Definizione della densità e della frazione in massa della fase solida nella sospensione

Condizione:

Una data sospensione con un consumo di Qs = 10 m3/h si ripartisce sul filtro. La portata di filtrato è Qf = 9,5 m3/h. La densità della fase solida e della fase liquida sono uguali rispettivamente a ρt = 1700 kg/m3 e ρl = 1000 kg/m3. Le misurazioni hanno mostrato che la densità del filtrato e dei depositi sono rispettivamente ρf= 1020 kg/m3 e ρd = 2100 kg/m3. È necessario determinare la densità e la frazione in massa della fase solida nella sospensione.

Soluzione:

Creiamo l’equazione del processo di rapporto della materia:

Qs·ρs = Qо·ρо+Qf·ρf

La portata di sedimenti Qо può essere espressa attraverso le portate volumetriche della sospensione e del filtrato:

Qо = Qs-Qf = 10-9,5 = 0,5 m³/h

Esprimiamo la densità della sospensione dall’equazione del rapporto di materia e la definiamo:

ρs = (Qо·ρо+Qf·ρf)/Qs = (0,5·2100+9,5·1020)/10 = 1074 kg/m³

Indichiamo la frazione della fase solida nella sospensione come m e facciamo la seguente equazione per determinare la densità della sospensione:

1/ρs = (1-m)/ρl +m/ρt

Sostituiamo la formula con i numeri e troviamo l’incognita m:

1/1074 = (1-m)/1000+m/1700

Da cui otteniamo il valore della frazione della fase solida nella sospensione:

m = 0,17

Risposta: la densità della sospensione è uguale a 1074 kg/m³ e in essa la frazione della fase solida consiste in 0,17.

Caso №2
Calcolo dell'area di filtraggio del filtro a depressione a tamburo

Condizione:

Si richiede di calcolare l’area di filtrazione di un filtro a depressione a tamburo, capace di lavorare sotto carico di sospensione Q = 32 m3/h. La frequenza di rotazione del tamburo è di n = 0,2 giri/min. Nel modello di laboratorio era stato stabilito che il rapporto tra il volume dei sedimenti rispetto al volume del filtrato è pari a x = 0,07, mentre l'altezza dello strato di sedimenti nel calcolo eseguito con il modello di lavoro è pari a h = 0,02 m.

Soluzione:

Definiamo il tempo di un ciclo completo di filtraggi del filtro a depressione a tamburo:

τ = 1/n = 60/0,2 = 300 sec.

In seguito calcoliamo il volume specifico del filtrato secondo la formula:

vps = h/x = 0,02/0,07 = 0,29

Infine definiamo il valore cercato prendendo il coefficiente di correzione Kc pari a 0,8:

F = (Q·τ)/(υps·Kc) = (32·300)/(3600·0,29·0,8) = 11,5 m²

Risposta: 11,5 m2.

Caso №3
Calcolo del volume di filtrato nel filtro aspirante

Condizione:

È dato un filtro aspirante, capace di filtrare Vf 3,2 m3 di sospensione per singolo carico. La sospensione filtrata contiene in sé x = 15% di fase solida a peso e ha una densità di ρs = 1100 kg/m3. Al termine del processo di filtraggio vengono prodotti sedimenti con un contenuto di umidità w = 74% e una densità di ρsed 1185 kg/m3. È necessario trovare il volume di prodotto filtrato Vf a condizione che y = 2% della fase solida passi attraverso il filtro senza ottusioni.

Soluzione:

Troviamo la quantità di fase solida mandata sul filtro insieme alla sospensione da pulire:

Gfs1 = Vf·ρs·x/100 = 3,2·1100·15/100 = 528 kg

Definiamo la quantità di fase solida, non trattenibile dal filtro aspirante:

Gfs2 = Gfs1·y/100 = 528·2/100 = 10,56 kg

La quantità di fase solida che rimane sul filtro sarà pari a:

Gfs3 = Gfs1-Gfs2 = 528-10,56 = 517,44 kg

Conoscendo l’umidità dei sedimenti creatisi, troviamo il peso totale dei sedimenti:

Gsed = Gfs3/w·100 = 517,44/74·100 = 699,24 kg

Di conseguenza il volume di sedimenti creatosi sarà pari a:

Vsed = Gsedsed = 699,24/1185 = 0,59 m³

Da qui il volume di filtrato creatosi sarà pari a:

Vf = Vs-Vsed = 3,2-0,59 = 2,61 m³

Risposta: 2,61 m³

Caso №4
Calcolo della durata del funzionamento giornaliero di un filtro

Condizione:

In una prova di messa in funzione del filtro è stato stabilito che V1 = 1 m3 di filtrato si forma dopo t1 = 4,5 min, mentre V2 = 2 m3 di filtrato si forma dopo t2 = 12 minuti. La superficie totale di filtrazione è pari a F = 1,6 m2. La portata giornaliera necessaria di filtrato del filtro è pari a Q = 16 m3. È necessario calcolare la durata giornaliera di funzionamento del filtro.

Soluzione:

Definiamo i valori relativi del filtrato raccolto durante la prova di avvio del filtro:

V1F = V1/F = 1/1,6 = 0,625 m³/m²

V2F = V2/F = 2/1,6 = 1,25 m³/m²

Sulla base di questa prova di avvio, creiamo il sistema di equazioni di filtraggio e definiamo le costanti di filtraggio:

{ [V1F]²+2·V1F·C = K·t1 = > { [0,625]²+2·0,625·С = K·4,5 = > { C = 0,62
[V2F]²+2·V2F·C = K·t2 [1,25]²+2·1,25·С = K·12 K = 0,26

Utilizzando l'equazione di filtraggio trovata definiamo il valore cercato, sostituendo in essa il volume relativo di filtrato necessario:

 (16/1,6)²+2·16/1,6·0,62 = 0,26·ttot

Da cui otteniamo il valore ttot = 7,2 ore. Tenendo conto di tutta la superficie di filtraggio.

Risposta: 7,2 ore.

Caso №5
Calcolo della frequenza di rotazione del tamburo del filtro di aspirazione

Condizione:

È dato un filtro di aspirazione a tamburo con le seguenti caratteristiche. Gli angoli dei settori di filtraggio, di lavaggio e di asciugatura sono pari rispettivamente φf = 110°, φl = 130° e φa = 60°. Il tempo di queste operazioni è di tf = 4 minuti, tl = 6 minuti e ta = 2 minuti. È necessario calcolare la frequenza di rotazione del tamburo.

Soluzione:

Calcoliamo in modo opportuno la frequenza di rotazione del tamburo del filtro con i dati disponibili, applicando due equazioni di calcolo della frequenza di rotazione con la conseguente scelta del minore dei valori ottenuti.

La prima frequenza di rotazione del tamburo si calcola secondo la formula:

n1 = φf/(360·τf) = 110/(360·4·60) = 0,00127 s(-1)

La prima frequenza di rotazione del tamburo si calcola secondo la formula:

n2 = (φla)/(360·(τla)) = (130+60)/(360·(6+2)·60) = 0,0012 s(-1)

Confrontando i due valori di frequenza di rotazione del tamburo ricavati, otteniamo:

n1>n2

Ne consegue che il valore cercato sia uguale 0,0012 s-1.

Risposta: 0,0012 s-1

Caso №6
Calcolo della pressione massima di passaggio della sospensione in un filtropressa

Condizione:

Il meccanismo di bloccaggio del dato filtropressa è in grado di sviluppare una forza P = 2·104 N. Le dimensioni della superficie di lavoro della piastra sono 300x300 mm, mentre la larghezza della linea di tenuta è uguale a 20 mm. È necessario calcolare la massima pressione di mandata della sospensione.

Soluzione:

Prima di tutto calcoliamo la superficie di filtraggio e della cella di tenuta. La superficie della cella di filtraggio sarà:

Ff = 0,3·0,3 = 0,09 m²

La superficie di tenuta (che ha una forma rettangolare):

Ft = (0,3+2·0,02)·(0,3+2·0,02)-0,3·0,3 = 0,0256 m²

In seguito consideriamo l'equazione per determinare lo sforzo di pressurizzazione:

P = Qd+Rpr

dove

Qd = p·Ff

Rpr = m·p·Ft

In via generale otteniamo l’equazione dello sforzo di pressurizzazione:

P = p·Ff+m·p·Ft

Prendendo il coefficiente di correzione m = 3, inseriamo i valori noti e troviamo il carico principale di lavoro p:

40000 = p·0,09+3·p·0,0256

Da cui otteniamo:

p = 0,24·[10]6 N

In seguito non rimane che definire la massima pressione di sospensione in uscita possibile:

Pmax = p/Ff = (0,24·[10]6)/0,09 = 2,7 MPa

Risposta: 2,7 MPa

Caso №7
Calcolo della resa del filtro a sabbia

Condizione:

È necessario trovare la resa di un filtro a sabbia chiuso con il diametro della parte cilindrica D = 2 m (trascurando le occlusioni delle cellule). La sabbia di riempimento del filtro ha le seguenti proprietà. Il diametro dei granelli di sabbia è di d = 0,5 mm. La porosità dello strato di sabbia è di x = 0,42. Lo spessore dello strato di sabbia è l = 1,6 m. Il filtraggio avviene ad una temperatura di T = 20 °C. È stabilito che la perdita di prevalenza nel filtro è h = 4,5 mWC.

Soluzione:

Calcoliamo la velocità di filtraggio (viene considerato un coefficiente di correzione pari a 40):

w = 3600·c·d²·h/l·(0,7+0,03·t) = 3600·40·[0,0005]²·4,5/1,6·(0,7+0,03·20) = 0,13 m/s

In seguito troviamo l’area della sezione di passaggio dello strato filtrante (dove F è l’area della sezione trasversale del filtro):

Fpr = F·x = (π·D²)/4·x = (3,14·2²)/4·0,42 = 1,32 m²

Sulla base dei valori trovati, diventa possibile la definizione del valore cercato:

Q = w·Fpr = 0,13·1,32 = 0,17 m³/s

Risposta: 0,17 m³/s

Caso №8
Calcolo della quantità di filtri necessari per il trattamento delle acque reflue

Condizione:

Per il trattamento delle acque reflue in quantità pari a Q = 1000 m3/giorno è previsto l’utilizzo di filtri a sabbia con le seguenti caratteristiche. La velocità di filtrazione calcolata è pari a v = 10 m/ora. Il filtro richiede un risciacquo ogni sette ore e la durata del lavaggio è t = 0,2 ore. Per un risciacquo viene utilizzato q = 10 m3 di acqua. Il lavoro si svolge nell’arco di tutto il giorno e cioè il tempo di lavoro totale è pari a ttot = 24 h. È richiesto il calcolo del numero di filtri necessario.

Soluzione:

Dato che il filtro richiede un risciacquo ogni sette ore, per un giorno sarà necessario:

n = 24/7≈3

Calcoliamo l’area di filtraggio necessaria:

F = Q/(ttot·v-n·q-n·t·v) = 1000/(24·10-3·10-3·0,2·10) = 4,9 m²

Definiamo la quantità di filtri necessari secondo la formula:

N = 0,5·√F = 0,5·√4,9 = 1,1

Arrotondiamo per eccesso al numero tondo e otteniamo il valore cercato 2.

Risposta: 2 filtri.

Caso №9
Determinazione della velocità di sedimentazione delle particelle in un filtro a gravitazione






Condizioni: in acqua a una temperatura t = 20 °C avviene la sedimentazione di particelle di sabbia di quarzo, la cui densità è ρd = 2600 kg/m3. Nell'ambito di questo caso considerare che la forma dei granelli di sabbia è sferica con diametro d = 1,2 mm.

Obiettivo: definire la velocità di sedimentazione delle particelle Vsed.

Soluzione: per la soluzione di questo problema vengono utilizzate delle equazioni di criterio per il processo di sedimentazione:

Re²·ζ = 4/3·Ar

In primo luogo caliamo il criterio di Archimede (Ar). Per l'acqua a 20°C, si presume che la sua densità ρa = 1000 kg/m3, mentre la viscosità dinamica µ = 0,01 Pa·s. Sostituiamo i valori noti nella formula di calcolo (g = 9,81 m/s l'accelerazione di gravità):

Ar = [g·ρl·d³·(ρтl)] / μ² = (9,81·1000·0,0012³·(2600-1000)) / 0,001² = 27123

Il valore risultante del criterio di Archimede rientra in un intervallo di 36<Ar<83000, corrispondente al regime transitorio della sedimentazione, per cui il coefficiente di resistenza (ζ) deve essere calcolato secondo la seguente formula:

ζ = 18,5/Re0,6

Sostituiamo il rapporto ottenuto e il valore di Ar dell’equazione di criterio iniziale e determiniamo il valore del criterio Re:

Re² · (18,5/Re0,6) = (4/3)·27123

Re1,4 = 1955

Re = 224,3

Scriviamo l’equazione per il criterio di Reynolds e poi dalla stessa estrapoliamo il valore cercato e lo calcoliamo:

Re = (ρa·vsed·d) / μ

Vsed= (Re·μ) / (ρa·d) = (224,3·0,001) / (1000·0,0012) = 0,187 m/s

Risposta: 0,187 m/s

Caso №10
Definizione dell’area di sedimentazione necessaria per il filtro a gravità

Condizioni: Per la pulizia del flusso delle acque torbide è necessaria una vasca di decantazione. È noto che la fase di dispersione nell’acqua è rappresentata principalmente da particelle solide di forma sconosciuta e con massa pari a mp= 2 mg e densità pari a ρт = 1800 kg/m3. La portata di acqua erogata per la pulizia è pari a Q = 0,6 m3/ora. Nei calcoli per l'acqua si prende una densità pari a ρa = 1000 kg/m3 e una viscosità dinamica µ = 0,001 Pa·s. È inoltre stabilito che la sedimentazione avviene in condizioni ristrette con una massa percentuale di fase dispersiva pari a ε = 0,5.

Obiettivo: definire l’area di sedimentazione necessaria per la vasca di chiarificazione.

Soluzione: si può definire il valore calcolato dell’area di sedimentazione tramite la formula:

F = Q/vris

Dove vris – velocità di sedimentazione ristretta delle particelle.

Per la determinazione di vris è innanzitutto necessario calcolare il criterio di Archimede (g = 9,81 m/s² – accelerazione di gravità):

Ar = [ρl·g·dp³·(ρтl)] / μ²

Nella formula di calcolo del criterio di Archimede dp è il diametro delle particelle sedimentate. La forma delle particelle della fase solida non è nota e perciò per il suo calcolo è necessario utilizzare la seguente formula:

dp = [(6·Vp)/P]1/3

Vp è il volume della particella che può essere espresso attraverso il rapporto tra la massa nota della particella e la sua densità Vp = mpp. Eseguendo questa sostituzione calcoliamo il valore dp:

dp = [(6·mp) / (π·ρp)]1/3 = [(6·0,000002) / (3,14·1800)]1/3 = 0,00128 m

Ora è possibile calcolare il criterio di Archimede:

Ar = [ρl·g·dp³·(ρтl)] / μ² = (1000·9,81·0,00128³·(1800-1000)) / 0,001² = 16458

Utilizzando l’equazione di criterio che lega il criterio di Archimede e il criterio di Reynolds (Reris) per la sedimentazione ristretta, calcoliamo Reris:

Reris = (Ar·ε4,74) / (18+0,6·√(Ar·e4,75)) = (16458·0,54,74) / (18+0,6·√16458·0,54,75) = 18,8

Ora che è noto il criterio di Reynolds per la sedimentazione ristretta diventa possibile un’altra formula per il suo calcolo, dove viene utilizzata la velocità delle particelle della sedimentazione ristretta. In seguito è necessario esprimere e calcolare vris:

Reris = (ρl·vris·dp) / μ

vris = (Reris·μ) / (ρl·dp) = (18,8·0,001) / (1000·0,00128) = 0,015 m/s

Conoscendo tutti i valori necessari, determiniamo il valore cercato:

F = Q/v = 0,6/0,015 = 40 m²

Risposta: l’area di sedimentazione è di 40 m².

Caso №11
Scelta di un filtro che funzioni ad un regime di pressione differenziale costante

Condizioni: ad un'impresa è stato consegnato un filtro funzionante in modalità di pressione differenziale costante senza documentazione di supporto. Dopo un uso di prova per filtrare la sospensione si è scoperto che attraverso τ1 = 5 min il filtro consente di ottenere V1 = 7,8 litri di filtrato, mentre attraverso τ2 = 10 min si forma già V2 = 12,1 litri di filtrato.

Obiettivo: determinare quanto tempo serve per l’ottenimento di V0 = 50 l di filtrato di sospensione analoga.

Soluzione:

Utilizziamo l’equazione di filtraggio per i casi di pressione differenziale costante (Δp = cost):

V² + 2·[(Rfp·S)/(rо·xо)]·V = 2 [(∆p·S²)/(μ·rо·xо)]·τ

Definiamo a = (Rfp·S)/(rо·xо) e b = (∆p·S²)/(μ·rо·xо). I valori a e b sono costanti e perciò, sulla base di dati sperimentali, li determiniamo creando e risolvendo il sistema di equazioni:

{ V1²+2·a·V1 = 2·b·τ1 = { 7,8²+2·a·7,8 = 2·b·5 = { a = 3,53
V2²+2·a·V2 = 2·b·τ2 12,1²+2·a·12,1 = 2·b·10 b = 11,59

Alla fine otteniamo che, per il caso dato e le date dimensioni, l’equazione di filtraggio può essere scritta nel modo seguente:

V²+7,06·V = 23,59·τ

Inseriamo nell’equazione ottenuta il valore V0 e troviamo il valore adeguato di τ:

τ = (50²+50·7,06) / 23,59 = 121 min

Risposta: per ottenere 50 l di filtrato sono necessari 121 min.

Filtri

Calcolo e selezione delle attrezzature di base