Esempi di valutazione delle centrifughe

Per definire le principali caratteristiche di valutazione della centrifuga a sedimentazione consideriamo una sezione del rotore a forma cilindrica di lunghezza (L) e un raggio interno (R), attraverso il quale scorre il liquido con uno strato di spessore (h) e con una portata Q. Il raggio interno forma un anello liquido indicato come (r). Introduciamo il valore della velocità media del flusso lungo l'asse del rotore (v_as), che si può immaginare come la portata volumetrica di sospensione divisa per l'area della sezione trasversale del flusso perpendicolare all'asse del rotore (F):

v_as = Q/F = Q/(2·π·h·r_rm)

dove:
r_rm = (R+r)/2 – raggio medio dello strato di liquido, m;

Poi, come anche nel caso della sedimentazione semplice, definiamo la velocità di sedimentazione delle particelle dalla zona più sfavorevole per la sedimentazione e cioè la superficie interna dell'anello liquido. In altre parole, la sedimentazione delle particelle che si trovano più lontane dalla superficie interna del rotore, il quale costituisce per loro l’area di deposito. È possibile ricavare questa velocità (v_rad) dalla velocità di sedimentazione di una particella simile in un campo di forza di gravità (v_vg), individuata secondo la legge di Stokes:

v_vg = [d²·(ρ_т-ρ_l)·g] / (18·μ)

dove:
d – diametro della particella, m;
ρ_т – densità della particella, kg/m³;
ρ_l – densità del liquido, kg/m³;
g – accelerazione di gravità, m/s²;

μ – viscosità dinamica del liquido, Pa·s.

La relazione tra le velocità di sedimentazione nel campo della forza di gravità e nel campo delle forze centrifughe avviene mediante il criterio di Froude, secondo la seguente formula:

V_rad = (v_vg/g) · Fr

dove:
Fr = (ω²·R)/g – criterio di Froude;
ω – velocità angolare del rotore, s^-1.

Analogo al caso della sedimentazione comune, con la condizione di completa separazione della fase di dispersione, sarà anche l’equazione tra il tempo di sedimentazione delle particelle più lontane dalle pareti laterali (τ_oc) e il tempo della loro permanenza nella centrifuga (τ_p):

Τ_oc = Τ_p

Questa equazione si può riscrivere in un altro modo:

L/v_as= h/v_rad

Continuiamo la sostituzione delle variabili in base alle equazioni determinate in precedenza:

(L·2·π·h·r_rm)/Q = (h·g)/(v_vg·Fr)

Di solito lo spessore dello strato del liquido è piccolo nelle centrifughe e perciò si può sostenere che R = r_rm. Allora diventa possibile effettuare la sostituzione, dove F è l’area di sedimentazione della centrifuga. Poi ricaviamo l'equazione di portata della centrifuga di sedimentazione:

Q = (F·v_vg·Fr)/g

Spesso nella pratica durante l’analisi delle centrifughe si incontrano, tuttavia, una moltitudine di fattori difficili da prendere in considerazione che, comunque, possono avere un impatto significativo. Perciò all'equazione per Q di solito viene aggiunto il coefficiente β, che tiene conto dei fattori specifici per i diversi casi:

Q = β·[(F·v_vg·Fr)/g]

Spesso si sostituisce il valore di F·Fr con il valore di Σ = indice di resa. È accertato in modo sperimentale che l'indice di resa dipende anche dalla modalità di flusso del liquido:

Σ = F·Fr – laminare;
Σ = F·Fr^0,73 – di passaggio;
Σ = F·Fr^0,5 – turbolento.

Ne consegue che il regime di flusso preferibile, che fornisce il maggior indice di resa, è quello laminare.

Come nel caso delle centrifughe per sedimentazione, l’analisi delle centrifughe filtranti ha una serie di principi comuni con quella dell’analisi dei filtri, dato l’unico principio di funzionamento; tuttavia, lo svolgimento del processo nel campo delle forze centrifughe provoca la comparsa di una serie di differenze.

L'equazione generale per la definizione teorica della resa delle centrifughe è il seguente:

Q = a·Σ

dove:
Q – resa della centrifuga, m³/s;
a – il fattore di correzione che dipende dal tipo di centrifuga (per le centrifughe a filtraggio a viene sostituito da una costante di filtrazione k, definita empiricamente);
Σ – indice di resa;

A sua volta l'indice di resa per la centrifuga viene calcolato nel seguente modo:

Σ = F_ср·K_ср

dove:
F_me = 2·π·L·(R+r) – superficie media di separazione, m²;
L – lunghezza del tamburo, m;
R – raggio interno del rotore della centrifuga, m;
r – raggio interno dell'anello di sospensione nella centrifuga, m;
K_ср = [ω²·(R+r)] / [2·g] – fattore medio di separazione della centrifuga;
ω – velocità angolare del rotore della centrifuga, s^-1;
g – accelerazione di gravità, m/s.

Tuttavia, la resa effettiva è spesso diversa da quella teorica (la resa effettiva risulta inferiore) per effetto di una serie di fattori quali: la presenza di uno strato di liquido scivoloso in relazione al tamburo della centrifuga, ecc. Per tenere conto di questi fattori nell'equazione della portata della centrifuga per filtrazione viene introdotto un fattore di correzione (ζ), chiamato indice di efficienza. In questo modo, l'equazione definitiva di flusso si presenta in questo modo:

Q = ζ·a·Σ

Il calcolo della resa delle centrifughe filtranti ad azione periodica si esegue secondo un'altra formula:

Q = a·√τ_p·V_lt·Σ

dove:
a – coefficiente di correzione, che caratterizza la resistenza del sedimento;
τ_p – tempo di lavoro della mandata di sospensione, s;
V_lt = π·L·(R²-r²) – volume di lavoro del tamburo, m³.

Per ottenere la massima resa media della centrifuga filtrante si prende solitamente il valore τ_р uguale alla somma del tempo, impiegato per lo svolgimento dei processi di centrifugazione (τ_c), e lo scarico delle sedimentazioni (τ_sed):

τ_р = τ_c+τ_sed

Nel calcolo della potenza delle centrifughe vengono separate la potenza di avviamento (N_avv) e la potenza durante il periodo di lavoro (N_pl). La potenza di avviamento si ottiene dalla somma dei seguenti valori:

N_avv = N_с+N_cus+N_a [kWh]

dove:
N_с – potenza della centrifuga all’avviamento, W;
N_cus – potenza spesa nella perdita nei cuscinetti, W;
N_a – Potenza spesa nell’attrito del tamburo e dell’aria, W.

A sua volta, la potenza del periodo di lavoro è costituita dai seguenti componenti:

N_avv = N_l+N_s+N_cus+N_a; [kWh]

dove:
N_l – potenza della centrifuga, spesa nella trasmissione dell'energia cinetica nella fase liquida della sospensione, W;
N_s – potenza della centrifuga, spesa nella trasmissione dell'energia cinetica nella fase solida della sospensione, W.

La potenza utilizzata all'avvio della centrifuga tiene conto di tutti i momenti di inerzia che intervengono all’accensione:

N_с = (I·ω²) /(2·10³·τ_p); [kWh]

dove:
I – momento di inerzia totale del rotore e carico rispetto all'asse di rotazione, kg·m²;
ω – velocità angolare del rotore della centrifuga, s^-1;
τ_p – tempo di avvio della centrifuga, s.

La potenza, che viene persa in conseguenza della presenza di attrito nei cuscinetti:

N_cus = [f·ω·Σ(P·d)] / [2·10³]; [kWh]

dove:
f – coefficiente di attrito nei cuscinetti;
Σ(P·d) – somma dei prodotti dei carichi dinamici sui cuscinetti (P, N) sui diametri corrispondenti degli alberi (d, m).

La potenza che viene persa come conseguenza dell’attrito del tamburo e dell’aria:

N_a = 12·10^-6·ρ_a·R_rer·ω²; [kWh]

dove:
ρ_a – densità dell’aria, kg/m³;
R_rer – raggio medio esterno del rotore, m.

Esempio №1
Scelta e analisi della resa della centrifuga

Condizioni: Si è in possesso di una centrifuga di sedimentazione, la quale in funzione è in grado di sviluppare una velocità angolare ω = 600 giri/min. Il tamburo ha i seguenti parametri: raggio interno R = 300 mm, lunghezza L = 500 mm. La centrifuga viene utilizzata per la chiarificazione dell'acqua dalle particelle solide in sospensione, le quali hanno un diametro d_p = 0,5 mm e una densità ρ_т = 2100 kg/m³. Per la soluzione del problema viene presa una viscosità dinamica pari a µ = 0,001 Pa·s, e una densità di ρ_l= 1000 kg/m³.

Obiettivo: è necessario calcolare la resa della centrifuga Q.

Soluzione: Il valore cercato si può calcolare secondo la seguente formula:

Q = (F·v_vg·Fr) / g

Il valore v_vg è la velocità di sedimentazione delle particelle nel campo della forza di gravità, che può essere definita come segue (g = 9,81 m/s è l'accelerazione di gravità):

v_vg = [d_p²·(ρ_т-ρ_l)·g] / [18·μ] = [0,0005²·9,81·(2100-1000)] / [18·0,001] = 0,15 m/s

È possibile definire la superficie di sedimentazione del tamburo F in base alle sue caratteristiche geometriche secondo la formula:

F = 2·p·R·L = 2·3,14·0,3·0,5 = 0,942 m²

Fr è il criterio di Froude che caratterizza il rapporto delle velocità di sedimentazione delle particelle nel campo delle forze centrifughe e nel campo della forza di gravità:  

Fr = (ω²·R) / g = ((600/60)²·0,3) / 9,81 = 30,58

Da cui la velocità di sedimentazione delle particelle nel campo di forze centrifughe sarà uguale a:

v_c = (v_vg/g)·Fr = (0,15/9,81)·30,58 = 0,47 m/s

Il valore F·Fr viene solitamente sostituito con Σ che è l’indice di resa, il cui valore può essere precisato a seconda della modalità di sedimentazione della particella che, a sua volta, è determinato dal criterio di Reynolds:

Re = (ρ_l·v_c·d_p) / μ = (1000·0,47·0,0005) / 0,001 = 235

Il valore risultante Re si trova in un intervallo di 2<Re<500 e di conseguenza la modalità di deposizione è di passaggio. La formula precisa per l'indice di resa, perciò, è la seguente:

Σ = F·Fr^0,73 = 0,942·30,58^0,73 = 11,44

Sostituiamo i dati ottenuti nell'equazione originale e calcoliamo il valore cercato:

Q = (F·v_vg·Fr)/g = (v_vg/g)·Σ = (0,15/9,81)·11,44 = 0,17 m³/s.

Risposta: la resa centrifuga è uguale a 0,17 m³/s.

Esempio №2
Calcolo della potenza di avviamento della centrifuga filtrante

Condizioni: è data una centrifuga filtrante, in cui avviene la separazione della sospensione con una densità di ρ_s = 1100 kg/m³. Il tamburo ha una massa di m_t = 200 kg e ha un raggio interno R = 0,5 m con uno spessore di parete b = 0,005 m e lunghezza L = 0,4 m. Il carico iniziale del tamburo è pari al 50% del suo volume interno. Il tempo di raggiungimento della centrifuga della velocità di lavoro è τ_p = 7 s. La velocità angolare della centrifuga è di ω = 1000 giri/min. Per il calcolo si considera una densità dell'aria ρ_a pari a 1,3 kg/m³ e un coefficiente di attrito nei cuscinetti f = 0,05. L'asse dell'albero ha un diametro di d_a = 80 mm.

Obiettivo: è necessario calcolare la potenza di avviamento N_avv.

Soluzione: La potenza di avviamento (N_avv) è costituita dalla potenza necessaria nelle perdite di attrito nei cuscinetti (N_cus), dalla potenza spesa nelle perdite per attrito del tamburo e dell’aria (N_a) e dalla potenza necessaria per superare l'inerzia al momento dell’avvio (N_s):

N_avv = N_cus+N_a+N_s

Per determinare la potenza che viene spesa nelle perdite di attrito nei cuscinetti, usiamo la formula basata sulla massa delle parti rotanti della centrifuga. Facciamo l'ipotesi che nel movimento di rotazione partecipino solo il tamburo e la massa di sospensione caricata:

N_cus = f·g·M·v_в

М è la massa totale delle parti rotanti della centrifuga. La massa del tamburo è già nota e rimane da determinare solamente la massa della sospensione caricata inizialmente. In quanto il caricamento iniziale del tamburo è del 50%, allora trovando il suo volume e moltiplicando per la densità è possibile determinare la massa di sospensione caricata m_s:

m_s = 0,5·2·π·R·L·ρ_s = 0,5·2·3,14·0,5·0,4·1100 = 691 kg

Allora la massa totale è di:

M = m_t+m_s = 200+691 = 891 kg

La velocità di rotazione dell'asse v_a è definita secondo la formula:

v_a = ω·d_a/2 = (1000/60)·(0,08/2) = 0,66 m/s

Calcoliamo il valore della potenza N_cus:

N_cus = f·g·M·v_в = 0,05·9,81·891·0,66 = 288,4 W

Calcoliamo il valore della potenza N_a accettando che il raggio esterno del tamburo sia R_est = R+b:

N_a = 0,012·ρ_a·R_est·ω² = 0,012·1,3·(0,5+0,005)·(1000/60)² = 2,2 W

Calcoliamo il valore della potenza N_s, facendo l'ipotesi che l'intera massa rotante sia concentrata sul raggio interno del tamburo R; allora il momento di inerzia totale può essere rappresentato come I = M·R²:

N_s = (I·ω²)/(2·τ_p) = (M·R²·ω²)/(2·τ_p) = (891·0,5²·(1000/60)²)/(2·7) = 4419,6 W

È ora possibile stabilire il valore cercato:

N_avv= N_cus+N_a+N_s = 288,4+2,2+4419,6 = 4710,2 W

Risposta: La potenza di avvio è di 4,71 kWh.

Calcolo e selezione delle attrezzature di base