Casi dimostrativi con calcoli per la selezione dei filtri

Condizione:

Una data sospensione con un consumo di Q_s = 10 m³/h si ripartisce sul filtro. La portata di filtrato è Q_f = 9,5 m³/h. La densità della fase solida e della fase liquida sono uguali rispettivamente a ρ_t = 1700 kg/m³ e ρ_l = 1000 kg/m³. Le misurazioni hanno mostrato che la densità del filtrato e dei depositi sono rispettivamente ρ_f= 1020 kg/m³ e ρ_d = 2100 kg/m³. È necessario determinare la densità e la frazione in massa della fase solida nella sospensione.

Soluzione:

Creiamo l’equazione del processo di rapporto della materia:

Q_s·ρ_s = Q_о·ρ_о+Q_f·ρ_f

La portata di sedimenti Q_о può essere espressa attraverso le portate volumetriche della sospensione e del filtrato:

Q_о = Q_s-Q_f = 10-9,5 = 0,5 m³/h

Esprimiamo la densità della sospensione dall’equazione del rapporto di materia e la definiamo:

ρ_s = (Q_о·ρ_о+Q_f·ρ_f)/Q_s = (0,5·2100+9,5·1020)/10 = 1074 kg/m³

Indichiamo la frazione della fase solida nella sospensione come m e facciamo la seguente equazione per determinare la densità della sospensione:

1/ρ_s = (1-m)/ρ_l +m/ρ_t

Sostituiamo la formula con i numeri e troviamo l’incognita m:

1/1074 = (1-m)/1000+m/1700

Da cui otteniamo il valore della frazione della fase solida nella sospensione:

m = 0,17

Risposta: la densità della sospensione è uguale a 1074 kg/m³ e in essa la frazione della fase solida consiste in 0,17.

Condizione:

Si richiede di calcolare l’area di filtrazione di un filtro a depressione a tamburo, capace di lavorare sotto carico di sospensione Q = 32 m³/h. La frequenza di rotazione del tamburo è di n = 0,2 giri/min. Nel modello di laboratorio era stato stabilito che il rapporto tra il volume dei sedimenti rispetto al volume del filtrato è pari a x = 0,07, mentre l'altezza dello strato di sedimenti nel calcolo eseguito con il modello di lavoro è pari a h = 0,02 m.

Soluzione:

Definiamo il tempo di un ciclo completo di filtraggi del filtro a depressione a tamburo:

τ = 1/n = 60/0,2 = 300 sec.

In seguito calcoliamo il volume specifico del filtrato secondo la formula:

v_ps = h/x = 0,02/0,07 = 0,29

Infine definiamo il valore cercato prendendo il coefficiente di correzione K_c pari a 0,8:

F = (Q·τ)/(υ_ps·K_c) = (32·300)/(3600·0,29·0,8) = 11,5 m²

Risposta: 11,5 m².

Condizione:

È dato un filtro aspirante, capace di filtrare V_f 3,2 m³ di sospensione per singolo carico. La sospensione filtrata contiene in sé x = 15% di fase solida a peso e ha una densità di ρ_s = 1100 kg/m³. Al termine del processo di filtraggio vengono prodotti sedimenti con un contenuto di umidità w = 74% e una densità di ρ_sed 1185 kg/m³. È necessario trovare il volume di prodotto filtrato V_f a condizione che y = 2% della fase solida passi attraverso il filtro senza ottusioni.

Soluzione:

Troviamo la quantità di fase solida mandata sul filtro insieme alla sospensione da pulire:

G_fs1 = V_f·ρ_s·x/100 = 3,2·1100·15/100 = 528 kg

Definiamo la quantità di fase solida, non trattenibile dal filtro aspirante:

G_fs2 = G_fs1·y/100 = 528·2/100 = 10,56 kg

La quantità di fase solida che rimane sul filtro sarà pari a:

G_fs3 = G_fs1-G_fs2 = 528-10,56 = 517,44 kg

Conoscendo l’umidità dei sedimenti creatisi, troviamo il peso totale dei sedimenti:

G_sed = G_fs3/w·100 = 517,44/74·100 = 699,24 kg

Di conseguenza il volume di sedimenti creatosi sarà pari a:

V_sed = G_sed/ρ_sed = 699,24/1185 = 0,59 m³

Da qui il volume di filtrato creatosi sarà pari a:

V_f = V_s-V_sed = 3,2-0,59 = 2,61 m³

Risposta: 2,61 m³

Condizione:

In una prova di messa in funzione del filtro è stato stabilito che V₁ = 1 m³ di filtrato si forma dopo t₁ = 4,5 min, mentre V₂ = 2 m³ di filtrato si forma dopo t₂ = 12 minuti. La superficie totale di filtrazione è pari a F = 1,6 m². La portata giornaliera necessaria di filtrato del filtro è pari a Q = 16 m³. È necessario calcolare la durata giornaliera di funzionamento del filtro.

Soluzione:

Definiamo i valori relativi del filtrato raccolto durante la prova di avvio del filtro:

V_1F = V₁/F = 1/1,6 = 0,625 m³/m²

V_2F = V₂/F = 2/1,6 = 1,25 m³/m²

Sulla base di questa prova di avvio, creiamo il sistema di equazioni di filtraggio e definiamo le costanti di filtraggio:

Utilizzando l'equazione di filtraggio trovata definiamo il valore cercato, sostituendo in essa il volume relativo di filtrato necessario:

 (16/1,6)²+2·16/1,6·0,62 = 0,26·t_tot

Da cui otteniamo il valore t_tot = 7,2 ore. Tenendo conto di tutta la superficie di filtraggio.

Risposta: 7,2 ore.

Condizione:

È dato un filtro di aspirazione a tamburo con le seguenti caratteristiche. Gli angoli dei settori di filtraggio, di lavaggio e di asciugatura sono pari rispettivamente φ_f = 110°, φ_l = 130° e φ_a = 60°. Il tempo di queste operazioni è di t_f = 4 minuti, t_l = 6 minuti e t_a = 2 minuti. È necessario calcolare la frequenza di rotazione del tamburo.

Soluzione:

Calcoliamo in modo opportuno la frequenza di rotazione del tamburo del filtro con i dati disponibili, applicando due equazioni di calcolo della frequenza di rotazione con la conseguente scelta del minore dei valori ottenuti.

La prima frequenza di rotazione del tamburo si calcola secondo la formula:

n₁ = φ_f/(360·τ_f) = 110/(360·4·60) = 0,00127 s^(-1)

La prima frequenza di rotazione del tamburo si calcola secondo la formula:

n₂ = (φ_l+φ_a)/(360·(τ_l+τ_a)) = (130+60)/(360·(6+2)·60) = 0,0012 s^(-1)

Confrontando i due valori di frequenza di rotazione del tamburo ricavati, otteniamo:

n₁>n₂

Ne consegue che il valore cercato sia uguale 0,0012 s^-1.

Risposta: 0,0012 s^-1

Condizione:

Il meccanismo di bloccaggio del dato filtropressa è in grado di sviluppare una forza P = 2·10⁴ N. Le dimensioni della superficie di lavoro della piastra sono 300x300 mm, mentre la larghezza della linea di tenuta è uguale a 20 mm. È necessario calcolare la massima pressione di mandata della sospensione.

Soluzione:

Prima di tutto calcoliamo la superficie di filtraggio e della cella di tenuta. La superficie della cella di filtraggio sarà:

F_f = 0,3·0,3 = 0,09 m²

La superficie di tenuta (che ha una forma rettangolare):

F_t = (0,3+2·0,02)·(0,3+2·0,02)-0,3·0,3 = 0,0256 m²

In seguito consideriamo l'equazione per determinare lo sforzo di pressurizzazione:

P = Q_d+R_pr

dove

Q_d = p·F_f

R_pr = m·p·F_t

In via generale otteniamo l’equazione dello sforzo di pressurizzazione:

P = p·F_f+m·p·F_t

Prendendo il coefficiente di correzione m = 3, inseriamo i valori noti e troviamo il carico principale di lavoro p:

40000 = p·0,09+3·p·0,0256

Da cui otteniamo:

p = 0,24·[10]⁶ N

In seguito non rimane che definire la massima pressione di sospensione in uscita possibile:

P_max = p/F_f = (0,24·[10]⁶)/0,09 = 2,7 MPa

Risposta: 2,7 MPa

Condizione:

È necessario trovare la resa di un filtro a sabbia chiuso con il diametro della parte cilindrica D = 2 m (trascurando le occlusioni delle cellule). La sabbia di riempimento del filtro ha le seguenti proprietà. Il diametro dei granelli di sabbia è di d = 0,5 mm. La porosità dello strato di sabbia è di x = 0,42. Lo spessore dello strato di sabbia è l = 1,6 m. Il filtraggio avviene ad una temperatura di T = 20 °C. È stabilito che la perdita di prevalenza nel filtro è h = 4,5 mWC.

Soluzione:

Calcoliamo la velocità di filtraggio (viene considerato un coefficiente di correzione pari a 40):

w = 3600·c·d²·h/l·(0,7+0,03·t) = 3600·40·[0,0005]²·4,5/1,6·(0,7+0,03·20) = 0,13 m/s

In seguito troviamo l’area della sezione di passaggio dello strato filtrante (dove F è l’area della sezione trasversale del filtro):

F_pr = F·x = (π·D²)/4·x = (3,14·2²)/4·0,42 = 1,32 m²

Sulla base dei valori trovati, diventa possibile la definizione del valore cercato:

Q = w·F_pr = 0,13·1,32 = 0,17 m³/s

Risposta: 0,17 m³/s

Condizione:

Per il trattamento delle acque reflue in quantità pari a Q = 1000 m³/giorno è previsto l’utilizzo di filtri a sabbia con le seguenti caratteristiche. La velocità di filtrazione calcolata è pari a v = 10 m/ora. Il filtro richiede un risciacquo ogni sette ore e la durata del lavaggio è t = 0,2 ore. Per un risciacquo viene utilizzato q = 10 m³ di acqua. Il lavoro si svolge nell’arco di tutto il giorno e cioè il tempo di lavoro totale è pari a t_tot = 24 h. È richiesto il calcolo del numero di filtri necessario.

Soluzione:

Dato che il filtro richiede un risciacquo ogni sette ore, per un giorno sarà necessario:

n = 24/7≈3

Calcoliamo l’area di filtraggio necessaria:

F = Q/(t_tot·v-n·q-n·t·v) = 1000/(24·10-3·10-3·0,2·10) = 4,9 m²

Definiamo la quantità di filtri necessari secondo la formula:

N = 0,5·√F = 0,5·√4,9 = 1,1

Arrotondiamo per eccesso al numero tondo e otteniamo il valore cercato 2.

Risposta: 2 filtri.

Condizioni: in acqua a una temperatura t = 20 °C avviene la sedimentazione di particelle di sabbia di quarzo, la cui densità è ρ_d = 2600 kg/m³. Nell'ambito di questo caso considerare che la forma dei granelli di sabbia è sferica con diametro d = 1,2 mm.

Obiettivo: definire la velocità di sedimentazione delle particelle V_sed.

Soluzione: per la soluzione di questo problema vengono utilizzate delle equazioni di criterio per il processo di sedimentazione:

Re²·ζ = 4/3·Ar

In primo luogo caliamo il criterio di Archimede (Ar). Per l'acqua a 20°C, si presume che la sua densità ρ_a = 1000 kg/m³, mentre la viscosità dinamica µ = 0,01 Pa·s. Sostituiamo i valori noti nella formula di calcolo (g = 9,81 m/s l'accelerazione di gravità):

Ar = [g·ρ_l·d³·(ρ_т-ρ_l)] / μ² = (9,81·1000·0,0012³·(2600-1000)) / 0,001² = 27123

Il valore risultante del criterio di Archimede rientra in un intervallo di 36<Ar<83000, corrispondente al regime transitorio della sedimentazione, per cui il coefficiente di resistenza (ζ) deve essere calcolato secondo la seguente formula:

ζ = 18,5/Re^0,6

Sostituiamo il rapporto ottenuto e il valore di Ar dell’equazione di criterio iniziale e determiniamo il valore del criterio Re:

Re² · (18,5/Re^0,6) = (4/3)·27123

Re^1,4 = 1955

Re = 224,3

Scriviamo l’equazione per il criterio di Reynolds e poi dalla stessa estrapoliamo il valore cercato e lo calcoliamo:

Re = (ρ_a·v_sed·d) / μ

V_sed= (Re·μ) / (ρ_a·d) = (224,3·0,001) / (1000·0,0012) = 0,187 m/s

Risposta: 0,187 m/s

Condizioni: Per la pulizia del flusso delle acque torbide è necessaria una vasca di decantazione. È noto che la fase di dispersione nell’acqua è rappresentata principalmente da particelle solide di forma sconosciuta e con massa pari a m_p= 2 mg e densità pari a ρ_т = 1800 kg/m³. La portata di acqua erogata per la pulizia è pari a Q = 0,6 m³/ora. Nei calcoli per l'acqua si prende una densità pari a ρ_a = 1000 kg/m³ e una viscosità dinamica µ = 0,001 Pa·s. È inoltre stabilito che la sedimentazione avviene in condizioni ristrette con una massa percentuale di fase dispersiva pari a ε = 0,5.

Obiettivo: definire l’area di sedimentazione necessaria per la vasca di chiarificazione.

Soluzione: si può definire il valore calcolato dell’area di sedimentazione tramite la formula:

F = Q/v_ris

Dove v_ris – velocità di sedimentazione ristretta delle particelle.

Per la determinazione di v_ris è innanzitutto necessario calcolare il criterio di Archimede (g = 9,81 m/s² – accelerazione di gravità):

Ar = [ρ_l·g·d_p³·(ρ_т-ρ_l)] / μ²

Nella formula di calcolo del criterio di Archimede d_p è il diametro delle particelle sedimentate. La forma delle particelle della fase solida non è nota e perciò per il suo calcolo è necessario utilizzare la seguente formula:

d_p = [(6·V_p)/P]^1/3

V_p è il volume della particella che può essere espresso attraverso il rapporto tra la massa nota della particella e la sua densità V_p = m_p/ρ_p. Eseguendo questa sostituzione calcoliamo il valore d_p:

d_p = [(6·m_p) / (π·ρ_p)]^1/3 = [(6·0,000002) / (3,14·1800)]^1/3 = 0,00128 m

Ora è possibile calcolare il criterio di Archimede:

Ar = [ρ_l·g·d_p³·(ρ_т-ρ_l)] / μ² = (1000·9,81·0,00128³·(1800-1000)) / 0,001² = 16458

Utilizzando l’equazione di criterio che lega il criterio di Archimede e il criterio di Reynolds (Re_ris) per la sedimentazione ristretta, calcoliamo Re_ris:

Re_ris = (Ar·ε^4,74) / (18+0,6·√(Ar·e^4,75)) = (16458·0,5^4,74) / (18+0,6·√16458·0,5^4,75) = 18,8

Ora che è noto il criterio di Reynolds per la sedimentazione ristretta diventa possibile un’altra formula per il suo calcolo, dove viene utilizzata la velocità delle particelle della sedimentazione ristretta. In seguito è necessario esprimere e calcolare v_ris:

Re_ris = (ρ_l·v_ris·d_p) / μ

v_ris = (Re_ris·μ) / (ρ_l·d_p) = (18,8·0,001) / (1000·0,00128) = 0,015 m/s

Conoscendo tutti i valori necessari, determiniamo il valore cercato:

F = Q/v = 0,6/0,015 = 40 m²

Risposta: l’area di sedimentazione è di 40 m².

Condizioni: ad un'impresa è stato consegnato un filtro funzionante in modalità di pressione differenziale costante senza documentazione di supporto. Dopo un uso di prova per filtrare la sospensione si è scoperto che attraverso τ₁ = 5 min il filtro consente di ottenere V₁ = 7,8 litri di filtrato, mentre attraverso τ₂ = 10 min si forma già V₂ = 12,1 litri di filtrato.

Obiettivo: determinare quanto tempo serve per l’ottenimento di V₀ = 50 l di filtrato di sospensione analoga.

Soluzione:

Utilizziamo l’equazione di filtraggio per i casi di pressione differenziale costante (Δp = cost):

V² + 2·[(R_fp·S)/(r_о·x_о)]·V = 2 [(∆p·S²)/(μ·r_о·x_о)]·τ

Definiamo a = (R_fp·S)/(r_о·x_о) e b = (∆p·S²)/(μ·r_о·x_о). I valori a e b sono costanti e perciò, sulla base di dati sperimentali, li determiniamo creando e risolvendo il sistema di equazioni:

Alla fine otteniamo che, per il caso dato e le date dimensioni, l’equazione di filtraggio può essere scritta nel modo seguente:

V²+7,06·V = 23,59·τ

Inseriamo nell’equazione ottenuta il valore V₀ e troviamo il valore adeguato di τ:

τ = (50²+50·7,06) / 23,59 = 121 min

Risposta: per ottenere 50 l di filtrato sono necessari 121 min.

Filtri

Calcolo e selezione delle attrezzature di base