Esempi di obiettivi con soluzioni per il calcolo e la scelta delle tubazioni

Condizione: In un impianto chimico viene pompato paraxilene С6Н4(CH3)2 a T=30 °C con resa Q=20 m³/h per un tratto di tubo d'acciaio di lunghezza L=30 m. Il paraxilene ha una densità ρ=858 kg/m³ e una viscosità µ=0,6 cP.  Per l'acciaio viene presa una ruvidità ε pari a 50 micron.

Dati di partenza: Q=20 m³/h; L=30 m; ρ=858 kg/m³; μ=0,6 sP; ε=50 micron; Δp=0,01 mPa; ΔH=1,188 m.

Obiettivo: Determinare il diametro minimo del tubo, per cui sul dato pezzo il salto di pressione non sia superiore a ∆ P=0,01 mPa (ΔH=1,188 m di palo di paraxilene).

Soluzione: La velocità del flusso v e il diametro del tubo d sono sconosciute, perciò non è possibile calcolare né il numero di Reynolds Re, né la ruvidità relativa ɛ/d. È necessario prendere il valore del coefficiente di attrito λ e calcolare il corrispondente valore di d, utilizzando l'equazione di perdita di energia e l'equazione di continuità. Poi, in base al valore di d, sarà calcolato il numero di Reynolds Re e la ruvidità relativa ɛ/d. Inoltre, utilizzando il diagramma di Moody, verrà ricevuto il nuovo valore di f. In questo modo, utilizzando il metodo di iterazioni successive, sarà stabilito il valore del diametro d.

Utilizzando la forma dell'equazione di continuità v=Q/F e la formula dell'area del flusso F=(π·d2)/4 trasformiamo l'equazione di Darcy–Weisbach come segue:

∆H = λ · L/d · v²/(2·g) = λ · L/d · Q²/(2·g·F²) = λ · [(L·Q²) / (2·d·g·[(π·d²)/4]²)] = (8·L·Q²)/(g·π²) · λ/d⁵ = (8·30·(20/3600)²)/(9,81·3,14²) · λ/d⁵ = 7,658·10^-5 · λ/d⁵

A seguire esprimiamo il diametro:

d = ⁵√(7,658·10^-5·λ)/∆H = ⁵√(7,658·10^-5·λ)/10000 = 0,0238·⁵√λ

Ora esprimiamo il valore del numero di Reynolds attraverso il diametro d:

Re = (ρ·v·d)/μ = (4·ρ·Q)/(π·μ·d) = (4·858·20)/(3,14·3600·0,6·10^-3·d) = 10120/d

Eseguiamo azioni analoghe con la ruvidità relativa:

ε/d = 0,00005/d

Per la prima fase di iterazione è necessario selezionare il valore del coefficiente di attrito. Prendiamo il valore medio λ = 0,03. A seguire faremo il conseguente calcolo d, Re e ε/d:

d = 0,0238·⁵√(λ) = 0,0118 m

Re = 10120/d = 857627

ε/d = 0,00005/d = 0,00424

Conoscendo questi valori, effettuiamo l'operazione inversa e definiamo il valore del coefficiente di attrito λ tramite il diagramma di Moody, che sarà uguale 0,017. Poi, di nuovo, troviamo d, Re e ε/d, ma già per il nuovo valore λ:

d = 0,0238·⁵√λ = 0,0105 m

Re = 10120/d = 963809

ε/d = 0,00005/d = 0,00476

Ricorrendo nuovamente al diagramma di Moody, avremo il valore precisato di λ, pari a 0,0172. Il valore ottenuto è diverso da quello precedentemente selezionato solo di [(0,0172-0,017)/0,0172]·100 = 1,16%, di conseguenza non è necessaria una nuova fase di iterazione e i valori trovati in precedenza sono corretti. Ne consegue che il diametro minimo del tubo è di 0,0105 m.

Condizione: Per l'attuazione di un processo tecnico sono state proposte due opzioni di tubo di diverso diametro. La prima opzione prevede l'utilizzo di tubi di diametro maggiore: questo comporta grandi spese di investimento С_i1 = 200.000 RUR, ma i costi annuali di manutenzione saranno minori e consisteranno in C_a1 = 30.000 RUR. Per la seconda opzione sono stati scelti dei tubi di diametro minore: questo riduce i costi di investimento C_i2 = 160.000 RUR, ma aumentano i costi per la manutenzione annuale fino a C_a2 = 35.000 RUR. Entrambe le opzioni sono calcolate per n = 10 anni di utilizzo.

Dati di partenza: C_i1 = 200.000 RUR; С_a1 = 30.000 RUR; C_i2 = 160.000 RUR; С_a2 = 35.000 RUR; n = 10 anni.

Obiettivo: È necessario determinare la soluzione economicamente più conveniente.

Soluzione: È ovvio che la seconda opzione sia più vantaggiosa, dati i minori costi di investimento, ma nel primo caso c'è il vantaggio di minori costi annuali di manutenzione. Usiamo la formula per la determinazione del periodo di ammortamento dei costi aggiuntivi di investimento tenendo conto del risparmio sulla manutenzione:

n_o = (C_i1-С_i2)/(С_a2-С_a1) = (200000-160000)/(35000-30000) = 8 anni

Ne consegue che durante un periodo di utilizzo fino a 8 anni, il vantaggio economico sarà dalla parte della seconda opzione, dati i minori costi di investimento; i costi totali di entrambi i progetti, tuttavia, saranno pari a 8 anni di utilizzo e perciò, in seguito, risulterà più vantaggiosa la prima opzione.

Dato che si prevede di sfruttare la tubatura per 10 anni, è opportuno ritenere più vantaggiosa la prima opzione.

Condizione: due linee tecnologiche sono in progettazione; in esse circola un liquido non viscoso con portate Q₁ = 20 m³/ora e Q₂ = 30 m³/ora. Al fine di semplificare l'installazione e la manutenzione delle tubazioni, è stata presa la decisione di utilizzare tubi dello stesso diametro per entrambe le linee.

Dati di partenza: Q₁ = 20 m³/ora; Q₂ = 30 m³/ora.

Obiettivo: È necessario determinare il diametro appropriato del tubo d secondo le condizioni poste nell’obiettivo.

Soluzione: dato che non sono indicati ulteriori requisiti riguardo la conduttura, allora il principale criterio di conformità sarà la possibilità di pompare il liquido secondo le portate indicate. Usiamo dati tabulari di velocità ottimali per il liquido non viscoso nel tubo di mandata. Questo range sarà pari a 1,5 – 3 m/s.

Ne consegue che è possibile determinare i range di diametro per le varie portate, adeguati ai valori delle velocità ottimali e stabilire l'area della loro intersezione. I diametri dei tubi ottenuti da questa area, ovviamente, saranno in grado di soddisfare i requisiti di applicabilità per i casi di consumo elencati.

Definiamo il range di diametri ottimali per il caso Q₁ = 20 m³/ora. Utilizziamo la formula di portata, ottenendo dalla stessa il diametro del tubo:

Q = [(p·d²)/4] · v

Da cui:

d = √(4·Q)/(p·v)

Sostituiamo il valore minimo e il valore massimo di velocità ottimale:

d_1min = √(4·20)/(3600·3,14·1,5) = 0,069 m

d_1max = √(4·20)/(3600·3,14·3) = 0,049 m

Quindi, per la linea con portata di 20 m³/ora sono adatti dei tubi con diametro da 49 a 69 mm.

Definiamo la gamma di diametri ottimali per il caso Q₂ = 30 m³/ora:

d_2min = √(4·30)/(3600·3,14·1,5) = 0,084 m

d_2max = √(4·30)/(3600·3,14·3) = 0,059 m

Alla fine otteniamo che per il primo caso la gamma di diametri ottimali è 49-69 mm, mentre per il secondo 59-84 mm. L’intersezione di queste due gamme darà l’insieme di valori desiderato. Otteniamo che per le due linee possono essere utilizzati tubi di diametro dai 59 ai 69 mm.

Condizione: La data tubazione ha un diametro di 0,2 m, lungo cui si muove il flusso d'acqua con una portata di 90 m³/ora. La temperatura dell'acqua è pari a t = 20 °C e per la quale la viscosità dinamica è pari a 1·10^-3 Pa·s e la densità a 998 kg/m³.

Dati di partenza: d = 0,2 m; Q = 90 m³/ora; μ = 1·10^-3; ρ = 998 kg/m³.

Obiettivo: È necessario stabilire il regime di flusso dell'acqua nel tubo.

Soluzione: Il regime di flusso può essere determinato in base al valore del criterio di Reynolds (Re), per il cui calcolo è necessario determinare la velocità del flusso dell'acqua nel tubo (v). È possibile calcolare il valore di v dall'equazione di portata per tubi a sezione circolare:

Q = v·(p·d²)/4

Da cui:

v = Q·4/(p·d²) = [90/3600] · [4/(3,14·0,2²)] = 0,8 m/s

Utilizzando il valore di velocità di flusso trovato, calcoliamo il valore del criterio di Reynolds:

Re = (ρ·v·d)/μ = (998·0,8·0,2) / (1·10^-3) = 159680

Il valore critico del criterio di Reynolds Re_cr nel caso di tubi a sezione circolare è pari a 2300. Il valore ottenuto del criterio è maggiore del valore critico (159680 > 2300) e, di conseguenza, del regime del flusso turbolento.

Condizione: Per una canaletta inclinata, con profilo rettangolare di larghezza w = 500 mm e altezza h = 300 mm, scorre dell’acqua che non arriva al valore a = 50 mm dal bordo superiore della canaletta. La portata d’acqua in questo caso è Q = 200 m³/ora. Nel calcolo viene presa una densità dell'acqua pari a ρ = 1000 kg/m³ e una viscosità dinamica µ = 1·10^-3 Pa·s.

Dati di partenza: w = 500 mm; h = 300 mm; l = 5000 mm; a = 50 mm; Q = 200 m³/ora; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3 Pa·s.

Obiettivo: Stabilire il valore del criterio di Reynolds.

Soluzione: poiché in questo caso il movimento del liquido avviene attraverso una canaletta rettangolare invece che un tubo rotondo, per i calcoli successivi è necessario trovare il diametro equivalente del canale. In via generale, esso si calcola secondo la seguente formula:

d_e = (4·F_l)/P_b

dove:
F_l – area della sezione trasversale del flusso di liquido;
P_b –perimetro bagnato.

Ovvio che la larghezza del flusso di liquido coincide con la larghezza del canale w, mentre l'altezza del flusso del liquido è uguale a h-a mm. In questo caso avremo:

P_b = w+2·(h-a) = 0,5+2·(0,3-0,05) = 1 m

F_l = w·(h-a) = 0,5·(0,3-0,05) = 0,125 m²

Ora è possibile definire il diametro equivalente del flusso di liquido:

d_e = (4·F_l)/P_b = (4·0,125)/1 = 0,5 m

In seguito usiamo la formula per la portata, espressa attraverso la velocità del flusso e l’area della sua sezione trasversale e troveremo la velocità del flusso:

Q = v·F_l m/s

v = Q/F_l = 200/(3600·0,125) = 0,45

Con l'aiuto dei valori trovati in precedenza, diventa possibile utilizzare la formula per calcolare il criterio di Reynolds:

Re = (ρ·v·d_e)/μ = (1000·0,45·0,5) / (1·10^-3) = 225000

Condizione: Tramite una pompa l’acqua viene convogliata al fruitore finale attraverso un tubo a sezione circolare, la cui configurazione è rappresentata in figura. La portata di acqua è pari a Q = 7 m³/ora. Il diametro del tubo è pari a d = 50 mm e la ruvidità assoluta Δ = 0,2 mm. Nei calcoli viene considerata una densità dell'acqua uguale a ρ = 1000 kg/m³ e una viscosità dinamica pari a µ = 1·10^-3 Pa·s.

Dati di partenza: Q = 7 m³/ora; d = 120 mm; Δ = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3 Pa·s.

Obiettivo: Calcolare il valore di perdita di carico nella tubazione (H_pc).

Soluzione: Inizialmente troviamo la velocità di flusso nella tubazione, per cui usiamo la formula di portata del liquido:

v = (4·Q) / (p·d²) = [(4·7)/(3,14·0,05²)] · 1/3600 = 1 m/s

La velocità trovata consente di determinare il valore del criterio di Reynolds per il dato flusso:

Re = (w·d·ρ)/μ = (1·0,05·1000) / (1·10^-3) = 50000

Il valore complessivo delle perdite di carico è costituito dalle perdite per attrito durante il movimento del liquido nel tubo (P_a) e dalle perdite di carico concentrate (P_cc).

Le perdite per attrito possono essere calcolate secondo la seguente formula:

P_a = [(λ·l)/d_e] · [v²/(2·g)]

dove:
λ – coefficiente di attrito;
L – lunghezza totale del tubo;
[v²/(2·g)] –pressione cinetica del flusso.

Troviamo il valore della pressione cinetica del flusso:

v²/(2·g) = 1²/(2·9,81) = 0,051 m

Per determinare il valore del coefficiente di attrito è necessario scegliere la giusta formula di calcolo, la quale dipende dal valore del criterio di Reynolds. Per questo troviamo il valore di ruvidezza relativa del tubo secondo la seguente formula:

e = Δ/d = 0,2/50 = 0,004

In seguito calcoliamo due ulteriori valori:

10/e = 10/0,004 = 2500

Il valore del criterio di Reynolds trovato in precedenza rientra nell’intervallo di 10/e < Re < 560/e, di conseguenza, è necessario utilizzare la seguente formula di calcolo:

λ = 0,11·(e+68/Re)^0,25 = 0,11·(0,004+68/50000)^0,25 = 0,03

Ora risulta possibile stabilire il valore della perdita di carico in attrito:

P_a = [(λ·l)/d] · [v²/(2·g)] = [(0,03·30)/0,05] · 0,051 = 0,918 m

Le perdite localizzate totali di carico si formano dalle perdite di carico in ognuna delle resistenze localizzate, che in questo caso sono due curve e una valvola a globo. È possibile calcolarle secondo la seguente formula:

∑ζ_rl·[v²/(2·g)]

dove ζ – coefficiente di resistenza localizzata.

Dato che tra i valori tabellari dei coefficienti di carico non ci sono quelli per i tubi con diametro 50 mm, per la loro definizione si deve ricorrere al metodo di calcolo approssimativo. Il coefficiente di resistenza (ζ) per la valvola a globo per un tubo di diametro di 40 mm è di 4,9, mentre per un tubo di 80 mm è di 4. Per semplificare, immaginiamo che i valori intermedi tra queste grandezze si trovino su una linea retta e quindi il loro cambiamento sia descritto dalla formula ζ = a·d+b, dove a e b sono i coefficienti dell'equazione della retta. Impostiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

L’equazione finale risulta la seguente:

ζ = -0,0225·d + 5,8 = -0,0225·50 + 5,8 = 4,675

Un simile calcolo approssimativo non sarebbe necessario nel caso in cui disponessimo di un coefficiente di resistenza per il gomito sotto i 90° e un diametro del tubo di 50 mm, dato che il diametro di 50 mm corrisponde al valore del coefficiente pari a 1,1.

Calcoliamo le perdite concentrate totali:

P_ct = ∑ζ_rl ·[v²/(2·g)] = 0,051·(2·1,1+4,671) = 0,35 m

Da qui otteniamo che le perdite totali di carico consistono in:

P_tc = P_a+P_rl = 0,918+0,35 = 1,268 m

Condizione: Nel corso dei lavori di riparazione della condotta principale, attraverso la quale l'acqua scorre con velocità v₁ = 2 m/s, con un diametro interno d₁ = 0,5 m si è scoperto che è necessario sostituire un tratto di tubo di lunghezza L = 25 m. A causa della mancanza di un tubo dello stesso diametro per la sostituzione, al posto del tratto guasto è stato installato un tubo con diametro interno d₂ = 0,45 m. La ruvidità assoluta di un tubo con diametro di 0,5 m consiste in Δ₁ = 0,45 mm, mentre di un tubo con un diametro di 0,45 m consiste in Δ₂ = 0,2 mm. Per i calcoli viene presa una densità dell'acqua pari a ρ = 1000 kg/m³ e una viscosità dinamica pari a µ = 1·10^-3 Pa·s.

Dati di partenza: d₁ = 0,5 m; d₂ = 0,45 m; L = 25 m; v₁ = 2 m/s; Δ₁ = 0,45 mm; Δ₂ = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m³; μ = 1·10^-3 Pa·s.

Obiettivo: È necessario determinare come cambierà la resistenza idraulica di tutta la conduttura.

Soluzione: dato che il resto della tubatura non è stata sostituita, allora anche il valore della sua resistenza idraulica non è cambiato dopo la riparazione; per risolvere il problema, quindi, sarà sufficiente confrontare le resistenze idrauliche del tratto di tubo sostituito e di quello di sostituzione.

Calcoliamo la resistenza idraulica del tratto di tubo, sottoposto a sostituzione (H₁). Poiché su di esso non vi è nessun tipo di resistenza localizzata, allora sarà sufficiente trovare il valore delle perdite per attrito (H_a1):

H_a1 = [(λ₁·l)/d₁] · [(v₁²)/(2·g)]

dove:
λ₁ – coefficiente di resistenza idraulica del tratto sostituito;
g – accelerazione di gravità.

Per trovare λ è prima necessario determinare la ruvidità relativa (e₁) del tubo e il criterio di Reynolds (Re1):

e₁ = Δ₁/d₁ = 0,45/500 = 0,0009

Re₁ = (v₁·d₁·ρ)/μ = (2·0,5·1000)/(1·10^-3) = 1000000

Scegliamo la formula per il calcolo di λ₁:

10/e₁ = 10/0,0009 = 11111

560/e₁ = 560/0,0009 = 622222

Poiché il valore trovato Re₁ > 560/e₁, allora λ₁ deve essere trovato con la seguente formula:

λ₁ = 0,11·e₁^0,25 = 0,11·〖0,0009〗^0,25 = 0,019

Ora è possibile trovare il calo di carico sul tratto di tubo sostituito:

H₁ = H_т1 = (λ₁·l)/d₁ ·[(v₁²)/(2·g)] = (0,019·25)/0,5·2²/(2·9,81) = 0,194 m

Calcoliamo la resistenza idraulica della parte di tubo che ha sostituito quello danneggiato (H₂). In questo caso la parte sostitutrice crea non solo un calo di pressione per attrito (H_a2) ma anche un calo di pressione a causa delle perdite concentrate (Н_pc2), che si presentano sotto forma di un netto restringimento della conduttura in ingresso del tratto sostituito e di una brusca espansione in uscita dallo stesso.

In primo luogo determiniamo il valore del calo di carico a causa dell’attrito nel tubo utilizzato per la sostituzione. Essendo il diametro più piccolo e la portata rimasta invariata, è necessario trovare un nuovo valore di velocità del flusso v₂. Il valore richiesto si può ricavare dal confronto delle portate, calcolate per il tratto di tubo sostituito e per quello di sostituzione:

v₁·(π·d₁²)/4 = v₂·(p·d₂²)/4

da cui:

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(500/450)² = 2,47 m/s

Il criterio di Reynolds per il flusso d’acqua nel tratto utilizzato per la sostituzione:

Re₂ = (v₂·d₂·ρ)/μ = (2,47·0,45·1000)/(1·10^-3) = 1111500

Ora troviamo la ruvidità relativa per il taglio del tubo con diametro di 450 mm e scegliamo la formula per il calcolo del coefficiente di attrito:

e₂ = Δ₂/d₂ = 0,2/450 = 0,00044

10/e₂ = 10/0,00044 = 22727

560/e₂ = 560/0,00044 = 1272727

Il valore risultante Re₂ è compreso tra i 10/e₁ e 560/e₁ (22 727 < 1 111 500 < 1 272 727) e pertanto, per il calcolo λ_2, verrà utilizzata la seguente formula:

λ₂ = 0,11·(e₂+68/Re₂)^0,25 = 0,11·(0,00044+68/1111500)^0,25 = 0,0165

Da qui diventa possibile calcolare il valore delle perdite per attrito nel tratto di tubo utilizzato per la sostituzione:

H_a2 = [(λ₂·l)/d₂] · [(v₂²)/(2·g)] = [(0,0165·25)/0,45] · [2,47²/(2·9,81)] = 0,285 m

Le perdite concentrate di pressione si formeranno dalle perdite in ingresso del tratto sostituito (un brusco restringimento del canale) e in uscita (una brusca espansione del canale). Troviamo il rapporto tra le aree del tubo di sostituzione e quello di origine:

F₂/F₁ = (d₂²)/(d₁²) = (0,45/0,5)² = 0,81

Tramite i valori tabellari scegliamo i coefficienti della resistenza localizzata: per la brusca restrizione ζ_br = 0,1; per la brusca espansione ζ_be = 0,04. Utilizzando questi dati, calcoliamo le perdite concentrate generali di carico:

H_pc2 = ∑ζ_br· [v²/(2·g)] = [ζ_br·(v₁²)/(2·g)] + [ζ_be·(v₂²)/(2·g)] = [0,1·2²/(2·9,81)] + [0,04·2,47²/(2·9,81)] = 0,032 m

Ne consegue che il calo globale di carico nel tratto di sostituzione è uguale a:

H₂ = H_a2+H_pc2 = 0,285+0,032 = 0,317 m

Conoscendo le perdite di carico nel tratto di tubazione sostituito e in quello di sostituzione, determiniamo il valore della variazione della perdita:

∆H = 0,317-0,194 = 0,123 m

Otteniamo che, dopo la sostituzione del tratto di tubo, le perdite generali di carico sono aumentate di 0,123 m.

Compressori e ventilatori

Calcolo e selezione delle attrezzature di base